О разрешимости одного вариационного неравенства теории фильтрации

В работе доказывается обобщенная разрешимость задачи, описывающей процесс нестационарной насыщенно-ненасыщенной фильтрации жидкости в пористой среде с условием односторонней проницаемости на части границы. Следует отметить, что возникающее при этом вариационное неравенство является вариационным неравенством переменного типа: в зоне насыщенной фильтрации – эллиптического и параболического – в противном случае. При обобщенной формулировке рассматриваемой задачи используется ставший уже классическим переход с помощью преобразования Кирхгофа к эквивалентной, более удобной для исследования, вариационной задаче. Кроме того, рассматривается наиболее интересный с точки зрения приложений случай, когда преобразование Кирхгофа отображает вещественную ось в ограниченную снизу полуось $[-\gamma,+\infty).$ При этом полагается, что значение преобразования Кирхгофа в точке $-\gamma$ равно нулю. Наряду с исходной задачей с ограничением $u(x,t) \geq -\gamma$, рассматривается так называемая «доопределенная» задача без ограничений, при формулировке которой функция, порождаемая преобразованием Кирхгофа, продолжается нулем на $(-\infty,-\gamma)$. Приводятся определения обобщенных решений этих задач в виде вариационных неравенств. Доказательство теоремы существования обобщенного решения «доопределенной» задачи проводится с помощью методов полудискретизации, метода Галеркина и штрафа. В заключение доказывается, что решение «доопределенной» задачи является решением исходной.