Алгебраические и порядковые свойства оператора блочного проектирования на алгебре измеримых операторов

Пусть $\tau$ – точный нормальный полуконечный след на алгебре фон Неймана $\mathcal{M}$. Исследован оператор блочного проектирования $\widetilde{\mathcal{P}}_n$ ($n \ge 2$) в *-алгебре $S(\mathcal{M},\tau)$ всех $\tau$-измеримых операторов. Показано, что ${f(\widetilde{\mathcal{P}}_n(A)) \ge \widetilde{\mathcal{P}}_n(f(A))}$ для каждой операторно монотонной функции $f$ на $\mathbb{R}^+$ и ${A \in S(\mathcal{M},\tau)^+}$. Для операторно выпуклой функции $f$ на $\mathbb{R}^+$ имеем ${f(\widetilde{\mathcal{P}}_n(A)) \le \widetilde{\mathcal{P}}_n(f(A))}$ для ${A \in S(\mathcal{M},\tau)^+}$. Изучены условия, при которых $\widetilde{\mathcal{P}}_n(A)$ принадлежит классам $S_0(\mathcal{M},\tau)$ $\tau$-компактных операторов, $ F(\mathcal{M},\tau)$ элементарных операторов, $L_p(\mathcal{M},\tau)$ $\tau$-интегрируемых с $p$-й степенью операторов или самой алгебре $\mathcal{M}$. Если ${A,B\in S(\mathcal{M},\tau)}$ и $\widetilde{\mathcal{P}}_n(B)$ является левым (правым) обратным для оператора $A$, то $\widetilde{\mathcal{P}}_n(B)$ также является левым (соответственно, правым) обратным для оператора $\widetilde{\mathcal{P}}_n(A)$.