Дополнительные граничные условия в задачах теплопроводности с неоднородными граничными условиями

С использованием дополнительных граничных условий (ДГУ) и дополнительной искомой функции (ДИФ) получено решение задачи теплопроводности с неоднородными граничными условиями. Дополнительные граничные условия позволяют удовлетворить дифференциальное уравнение на границах, что приводит к его выполнению и внутри области, без интегрирования по декартовой координате. Дополнительная искомая функция сводит исходное уравнение в частных производных к временнóму обыкновенному уравнению, из решения которого определяются собственные числа краевой задачи, определяемые в классических методах из задачи Штурма – Лиувилля, сформулированной в пространственной переменной. Следовательно, в настоящей работе рассматривается иной способ определения собственных чисел. Постоянные интегрирования находятся из начального условия методом наименьших квадратов, позволяющим находить их значения с заданной точностью. Полученное на основе ДГУ и ДИФ решение при $n \to \infty$ приближается к точному аналитическому решению в форме бесконечного ряда, включающего тригонометрические координатные функции с коэффициентами, экспоненциально стабилизирующимися во времени. При этом собственные числа, определяемые из решения временнóго обыкновенного дифференциального уравнения относительно дополнительной искомой функции, в любом приближении совпадают с точными их значениями. Точность выполнения постоянных интегрирования, определяемых методом наименьших квадратов, регулируется числом точек аппроксимации начального условия в диапазоне области изменения пространственной переменной. Отметим, что рассматриваемые в работе дополнительные граничные условия выполняются и при любом другом способе получения решения рассматриваемой задачи, включая и точный метод, в чем можно убедиться непосредственной подстановкой. Следовательно, их введение не искажает исходную математическую постановку задачи, а позволяет лишь существенно упростить процесс получения ее аналитического решения.