Algebraic $G$-functions associated to matrices over a group-ring

Для каждой матрицы с элементами из группового кольца некоторой группы можно построить последовательность следов (в смысле группового кольца) их степеней. Мы доказываем, что соответствующий производящий ряд является алгебраической $G$-функцией (в смысле Зигеля) в случае, когда группа является свободной конечного ранга. Следовательно, норма таких элементов является точно вычислимым алгебраическим числом, и их функция Грина является алгебраической. Наше доказательство использует понятия рациональных и алгебраических степенных рядов с некоммутирующими переменными и опирается на теорему Хаймана. В основе этой теоремы лежат результаты о регулярных и контекстно-свободных языках. С другой стороны, когда группа является свободной абелевой конечного ранга, то соответствующий производящий ряд представляет собой $G$-функцию. Вопрос состоит в том, выполняется ли это для любой гиперболической группы.