Комбинаторные методы в алгебре n-номов и их применения

Показана эффективность комбинаторных методов в алгебре n-номов с последующим применением полученных результатов к задачам, решения которых вызывают определенные трудности при использовании формул обычной (биномной) алгебры (что полностью подтверждают пророческие слова создателя теории инвариантов Д. Сильвестра (John James Sylvester): "The part in some sense greater than the whole:general proposition must be proved easier than any partial case –Часть в некотором смысле больше целого: общее утверждение должно доказываться легче, чем любой ее частный случай". Дается оригинальный лаконичный комбинаторный вывод формул сокращенного умножения степеней n-номов, т.е. n-членных сумм $a_1+\cdots+a_n$, позволяющие многие труднорешаемые известными до этого способами задачи перевести в разряд ординарных задач средствами алгебры n-номов. Особая роль формулы кубов n-членных сумм в упрощении выкладок заключается в том, что она, к примеру, в частном случае 3-х переменных, когда $a+b+c=0,$ упрощается до вида $a^3+b^3+c^3=3abc$, и это есть главный момент в \textbf{элиминации }сложности решения трудных задач. Самое интересное, что это условное (т.е. при наличии дополнительных ограничений) тождество допускает обобщение на $n$ слагаемых: если $a_1+\cdots+a_n=0,$ то $a^3_1+\cdots+a^3_n=3\sum\limits_{1\le i<j<k\le n}a_{i}a_{j}a_{k}$. Эффект упрощения наглядно продемонстрирован на многих примерах, где вместо традиционного возведения в куб $(a_1+\cdots+a_{n})^{3}$ используется формула "Сумма кубов равна утроенной сумме троек $a_ia_ja_k(1\le i<j<k\le n)$", что особенно удобно при решении уравнений с кубическими иррациональностями и в доказательствах кубических соотношений.