Galerkin approximation for parametric and stochastic elliptic PDEs

Изучается приближение Галеркина для параметрической эллиптической задачи

\begin{equation} \nonumber - \operatorname{div} \big(a(y)(x)\nabla u(y)(x)\big) \ = f(x) \quad x \in D, \ y \in \mathbb{I}^{\infty}, \quad u|_{\partial D} \ = \ 0, \end{equation}
где $D \subset \mathbb{R}^m$ - ограниченная область Липшица, $\mathbb{I}^{\infty}:=[-1,1]^\infty$, $f \in L_2(D)$, а диффузия $a(y)$ удовлетворяет условию равномерной эллиптичности и аффинно зависит от $y$. Предположим, что почти в каждой точке $y_0 \in \mathbb{I}^{\infty}$ относительно равномерной вероятностной меры $\mu$ на $\mathbb{I}^{\infty}$ для непараметрической задачи $- \operatorname{div}\big(a(y_0)(x)\nabla u(y_0)(x)\big) = f(x)$ существует аппроксимативная последовательность конечных элементов с определенной скоростью сходимости по энергетической норме пространства $V:=H^1_0(D).$ На основе этого предположения построена последовательность конечных элементов с той же скоростью сходимости для параметрической эллиптической задачи по норме $L_2(\mathbb{I}^{\infty},V,\mu)$ пространств Бохнера. Это показывает, что проклятия размерности для параметрической эллиптической задачи преодолевается линейными методами.