Свойства экстремальных элементов в соотношении двойственности для пространства Харди

Рассмотрим пространство Харди $H_p$ в единичном круге $D$, $p\geq1$. Пусть $l_\omega$ — линейный функционал на $H_p$, определяемый функцией $\omega\in L_q(T)$, где $T=\partial D$ и $1/p+1/q=1$, а $F$ — экстремальная функция для $l_\omega$. На $X\in H_q$ реализуется наилучшее приближение $\bar\omega$ в $L_q(T)$ элементами из $H_q^0=\{y\in H_q:y(0)=0\}$. Функции $F$ и $X$ называем экстремальными элементами (э. э.) для $l_\omega$. Э. э. связаны соответствующим соотношением двойственности. Рассматривается задача о том, как те или иные свойства $\omega$ отразятся на свойствах э. э. Аналогичная задача исследуется и для случая $0<p<1$. В статье Л. Карлесона и С. Кобса (1972) была изучена задача о свойствах элементов, на которых достигается нижняя грань $\|\bar\omega-x\|_{L_\infty(T)}$ для заданного $\omega\in L_q(T)$ по $x\in H_\infty^0$. Гипотеза авторов о том, что связь между э. э. подобна связи между $\omega$ и его проекцией на $H_q$, частично подтверждена в статье В. Г. Рябых (2006). Свойства э. э. для $l_\omega$, когда $\omega$ — полином, изучены в статье Х. Х. Бурчаева, В. Г. Рябых и Г. Ю. Рябых (2017). В данной статье, опираясь на основной результат последней статьи и пользуясь методом последовательных приближений, доказано: если $\omega\in L_{q^*}(T)$, $q\le q^*<\infty$, то $F\in H_{(p-1)q^*}$, $X\in H_{q^*}$; когда производная $\omega^{(n-1)}\in {\rm Lip}(\alpha,T)$, $0<\alpha<1$, то $F=Bf$, где $B$ — произведение Бляшке, $f$ — внешняя функция, при этом $(|f(t)|^p)^{(n-1)}\in {\rm Lip}(\alpha,T)$. Если же функция $\omega$ аналитична вне единичного круга, то э. э. аналитичны в том же круге. Перечисленные результаты уточняют и дополняют подобные результаты, полученные в упомянутой работе В. Г. Рябых (2006). Доказано также, что экстремальная функция для $l_\omega\in (H_q)^*$, где $1/(n+1)<\delta<1/n$, $\omega\in H_\infty\cap {\rm Lip}(\beta,T)$, $\beta=1/\delta-n+\nu<1$ и $\nu>0$, существует и обладает той же гладкостью, что и образующая функция $\omega$.