Аннотация:
Рассмотрен класс многомерных детерминантных дифференциально-операторных
уравнений, левая часть которых представляет собой определитель с элементами, содержащими
произведение линейных одномерных дифференциальных операторов произвольного порядка, а
правая часть зависит от искомой функции и ее первых производных. Отдельно исследованы
однородные и неоднородные детерминантные дифференциально-операторные уравнения. Доказаны
теоремы о понижении размерности уравнения. Получены решения в виде суммы и произведения
функций от подмножеств независимых переменных, и в том числе, функций одной переменной.
В частности, доказано, что решением рассматриваемого однородного уравнения является
произведение собственных функций линейных операторов, входящих в состав уравнения. Для
однородного уравнения доказана теорема о взаимосвязи решений исходного уравнения и
некоторого вспомогательного линейного уравнения, а также получено решение уравнения для
случая, когда линейные дифференциальные операторы, входящие в его состав, имеют
пропорциональные собственные значения. Получены решения типа бегущей волны, в том числе
решения степенного и экспоненциального вида, а также в виде произвольной функции от
линейной комбинации независимых переменных. В случае, когда линейные операторы, входящие
в состав уравнения, являются однородными, найдены решения в виде обобщенных мономов. Для
неоднородного уравнения получены частные решения в случаях, когда правая часть содержит
только независимые переменные, и когда правая часть содержит степенную или
экспоненциальную нелинейность от искомой функции, и степени первых производных от этой
функции.
Ключевые слова:детерминантное дифференциально-операторное уравнение, определитель, линейный дифференциальный оператор, собственная функция, ядро оператора, решение типа бегущей волны.