Алгебры аналитических функционалов и обобщенное произведение Дюамеля

Пусть $\Omega$ — односвязная область в комплексной плоскости, содержащая начало координат; $H(\Omega)$ — пространство Фреше всех голоморфных в $\Omega$ функций. Голоморфная в $\Omega$ функция $g_0$ такая, что $g_0(0)=1$, задает линейный непрерывный в $H(\Omega)$ оператор Поммье. Он является одномерным возмущением оператора обратного сдвига и совпадает с ним, если $g_0$ является тождественной единицей. Его коммутант в кольце всех линейных непрерывных операторов в $H(\Omega)$ изоморфен алгебре, образованной сопряженным $H(\Omega)'$ к $H(\Omega)$ с умножением, определяемым операторами сдвига для оператора Поммье по правилу свертки. Показано, что эта алгебра является унитальной ассоциативной, коммутативной и топологической. Исследуются ее реализации, полученные с помощью преобразований Лапласа и Коши. Основное внимание уделено реализации посредством преобразования Лапласа. Оно приводит к изоморфной алгебре, образованной некоторым пространством $P_\Omega$ целых функций экспоненциального типа. Умножение $\ast$ в ней является обобщенным произведения Дюамеля. Если $g_0$ является тождественной единицей, то это умножение является обычным произведением Дюамеля. Обобщенное произведение Дюамеля задается операторами свертки, определяемыми посредством исходной функции $g_0$. В случае преобразования Коши (для функции $g_0$, равной тождественной единице) реализацией $H(\Omega)'$ является пространство ростков всех функций, голоморных на дополнении $\Omega$ до расширенной комплексной плоскости и равных нулю в бесконечности, с умножением, противоположным обычному произведению функций и независимой переменной. Получено описание всех собственных замкнутых идеалов $(P_\Omega,\ast)$. Оно основывается на данном ранее авторами описании всех собственных замкнутых $D_{0,g_0}$-инвариантных подпространств $H(\Omega)$. Множество всех собственных замкнутых идеалов $(P_\Omega,\ast)$ состоит из двух семейств. Одно содержит конечномерные идеалы, задаваемые подмножествами нулевого многообразия функции $g_0$. Другое содержит бесконечномерные идеалы, определяемые, в частности, конечным числом точек вне $\Omega$. Ранее аналогичная задача была решена авторами в двойственной ситуации, именно, для алгебры ростков всех функций, голоморфных на выпуклом локально замкнутом множестве в комплексной плоскости. При этом рассматривалась функция $g_0$, являющаяся произведением многочлена и экспоненты.