Increasing unions of Stein spaces with singularities

В статье показано, что если $X$ — пространство Стейна, а множество $\Omega\subset X$ исчерпаемо последовательностью открытых множеств Стейна $\Omega_{1}\subset\Omega_{2}\subset\ldots\subset\Omega_{n}\subset\dots$, содержащихся в $X$, то $\Omega$ — также множество Стейна. Этот факт обобщает хорошо известный результат Бенке и Стейна, полученный для $X=\mathbb{C}^{n}$, и решет проблему объединения — один из классических вопросов комплексной аналитической геометрии. В том случае, когда $X$ двумерно, для справедливости полученного результата достаточно предположить, что $\Omega\subset\subset X$ — область голоморфности в нормальном пространстве Стейна. В то же время, известно, что произвольное комплексное пространство $X$, исчерпаемое возрастающей последовательностью открытых множеств Стейна $X_{1}\subset X_{2}\subset\dots\subset X_{n}\subset\dots$, не является, вообще говоря, голоморфно выпуклым или голоморфно отделимым (даже если $X$ не имеет сингулярностей). Имеются даже двумерные комплексные многообразия, на которых все голоморфные функции постоянны.