Pluriharmonic definable functions in some $o$-minimal expansions of the real field

В настоящей статье предпринимается попытка решить следующую задачу: если плюригармоническая функция $f$ определима в произвольном $o$-минимальном расширении структуры вещественного поля $\overline{\mathbb{R}}:=(\mathbb{R},+,-,.,0,1,<)$, то будет ли эта функция локально вещественной частью голоморфной функции, которая определима в том же самом расширении? В предложении 2.1 доказано, что эта задача имеет положительное решение, если теорема Вейерштрасса о делении имеем место для системы колец определимых вещественно аналитических ростков в нуле пространства $\mathbb{R}^n$. Тот же ответ получается для $o$-минимального расширения вещественного поля, которое замкнуто относительно пфаффиана (предложение 2.6) для гармонических функций. В последнем параграфе показано, что теорема Вейерштрасса о делении не выполняется для колец ростков вещественных аналитических в $0\in\mathbb{R}^n$ функций, которые определимы в $o$-минимальной структуре $(\overline{\mathbb{R}}, x^{\alpha_1},\ldots,x^{\alpha_p})$, где $\alpha_1,\ldots,\alpha_p$ — вещественные иррациональные числа.