Local grand Lebesgue spaces

Мы вводим «локальные гранд» пространства Лебега $L^{p),\theta}_{x_0,a}(\Omega)$, $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$, где процесс «грандизации» относится к единственной точке $x_0\in \Omega$, в отличие от случая обычных известных гранд пространств $L^{p),\theta}(\Omega)$, где «грандизация» относится ко всем точкам $\Omega$. Мы определяем пространство $L^{p),\theta}_{x_0,a}(\Omega)$ с помощью веса $a(|x-x_0|)^{\varepsilon p}$ с малым показателем степени, $a(0)=0$. При некоторых довольно широких предположениях о выборе локального «грандизатора» $a(t)$ мы доказываем некоторые свойства этих пространств, включая их эквивалентность при различном выборе грандизаторов $a(t)$, и показываем, что максимальный, сингулярный операторы и операторы Харди сохраняют такую «одноточечную грандизацию» пространств Лебега $L^p(\Omega)$, $1<p<\infty$, при условии, что нижний индекс Матушевской — Орлича функции $a$ положительный. Доказана также теорема типа Соболева в локальных гранд пространствах при том же условии на грандизатор.