Existence results for a Dirichlet boundary value problem involving the $p(x)$-Laplacian operator

Цель настоящей статьи — установить существование слабого решения в пространстве $W_0^{1,p(x)}(\Omega)$ краевой задачи Дирихле для $p(x)$-лапласиана. Наш подход основан на теории топологической степени Берковича для класса деминепрерывных операторов обобщенного $(S_+)$ типа. Используются также свойства лебеговых и соболевских пространство с переменными показателями и специальные свойства $p(x)$-лапласиана. Для того, чтобы использовать упомянутую теорию, задача преобразуется в абстрактное уравнение Гаммерштейна вида $v+S\circ Tv=0$ в рефлексивном банаховом пространстве $W^{-1,p'(x)}(\Omega)$, которое является двойственным к $W_0^{1,p(x)}(\Omega)$ пространством. Заметим также, что изучаемую проблему можно рассматривать как нелинейную задачу на собственные значения вида $Au=\lambda u,$ где $Au:=-\mathrm{div}(|\nabla u|^{p(x)-2}\nabla u)-f(x,u)$. Если исходная задача имеет слабое решение $u$, то $u$ является собственной функцией, ассоциированной с собственным значением $\lambda$.