Unicity on entire functions concerning their difference operators and derivatives

В этой статье мы изучаем единственность целых функций относительно их разностного оператора и производных. Представление о целых и мероморфных функциях сильно зависит от этого направления. Рубель и Янг рассмотрели единственность целой функции и ее производных; они доказали, что если $f(z)$ и $f'(z)$ разделяют два значения $a$, $b$ с учетом кратностей, то $f(z)\equiv f'(z)$. Позже Ли Пинг и Янг улучшили результат Рубеля и Янга: если $f(z)$ — непостоянная целая функция, а $a$ и $b$ — два конечных различных комплексных значения, и если $f(z)$ и $f^{(k)}(z)$ разделяют $a$ с учетом кратностей и $b$ — без учета кратностей, то $f(z)\equiv f^{(k)}(z)$. В последние годы проявляется значительный интерес к распределению значений мероморфных функций конечного порядка относительно разностного аналога. Заменив различные конечные комплексные значения многочленами, устанавливается следующий результат: пусть $\Delta f(z)$ — трансцендентная целая функция конечного порядка, $k\geq0$ — целое число, а $P_{1}$ и $P_{2}$ — два многочлена; если $\Delta f(z)$ и $f^{(k)}$ разделяют $P_{1}$ с учетом кратностей и $P_{2}$ игнорируя кратности, то $\Delta f \equiv f^{(k) }$. Нетривиальное доказательства этого результата использует теорию распределения значений Неванлинны.