Isomorphism between the algebra of measurable functions and its subalgebra of approximately differentiable functions

Настоящая работа посвящена изучению некоторых классов однородных регулярных подалгебр алгебры всех комплекснозначных измеримых функций на единичном интервале. Известно, что степень трансцендентности унитальной коммутативной регулярной алгебры является одним из важных инвариантов таких алгебр наряду с булевой алгеброй ее идемпотентов. Также известно, что если $(\Omega, \Sigma, \mu)$ — однородное пространство с мерой Магарам, то две однородные унитальные регулярные подалгебры в $S(\Omega)$ изоморфны тогда и только тогда, когда их булевы алгебры идемпотентов изоморфны, и степени трансцендентности этих алгебр совпадают. Пусть $S(0,1)$ — алгебра всех (классов эквивалентности) измеримых комплекснозначных функций, и пусть $AD^{(n)}(0,1)$ ($n\in \mathbb{N}\cup\{\infty\}$) — алгебра всех (классов эквивалентности) почти всюду $n$-раз асимптотически дифференцируемых функции на $[0, 1].$ В работе доказано, что $AD^{(n)}(0,1)$ является регулярной, цело-замкнутой, $\rho$-замкнутой, $c$-однородной подалгеброй в $S(0,1)$ для всех $n\in \mathbb{N}\cup\{\infty\},$ где $c$ — континуум. Далее мы покажем, что алгебры $S(0,1)$ и $AD^{(n)}(0,1)$ изоморфны для всех $n\in \mathbb{N}\cup\{\infty\}.$ В качестве приложения этих результатов установлено, что размерность линейного пространства всех дифференцирований на $S(0,1)$ и порядок группы всех сохраняющих полосу автоморфизмов алгебры $S(0,1)$ совпадают и равны $2^c.$ Мы также покажем, что алгебра Ли $\operatorname{Der}S(0, 1)$, всех дифференцирований алгебры $S(0,1)$, содержит подалгебру, изоморфную бесконечномерной алгебре Витта.