О кратных нулях одной целой функции, важной для теории обратных задач

Исследуется характер нулей одной целой функции, возникшей в теории линейных обратных задач для дифференциальных уравнений второго порядка. Функция является трансцендентной, элементарной, нецелого порядка $\rho=1/2$. Она простым образом зависит от комплексного параметра $\hskip1pt p$. Спрашивается, возможны ли значения $p$, при которых функция имеет кратные нули? В работе найден полный ответ на поставленный вопрос и показано, что существует счетное множество значений $p=p_n\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$, при каждом из которых изучаемая целая функция помимо бесконечного числа простых нулей имеет в точности один нуль кратности два. Дано описание как самого множества таких значений $p_n$, так и соответствующих кратных нулей. Итоговый результат выражен в терминах корней трансцендентного уравнения $\mathrm{sh}\, z=z$, анализу которого посвящен заключительный раздел работы. Здесь анонсированы новые «неасимптотические» оценки, применимые ко всем корням уравнения в области $z\ne 0$ и дающие для этих корней весьма точные зоны локализации. Численные расчеты подтверждают наши аналитические выводы. Имеются полезные связи с теорией распределения нулей целых функций типа Миттаг-Леффлера и с некоторыми спектральными задачами из математической физики.