Об оценке интеграла Виноградова при малом числе переменных

Пусть $n,k,P$ – натуральные числа, $J=J_{n,k}(P)$ – число целочисленных решений системы уравнений
$$ \left\{ \begin{aligned} x_1+\dots+x_k &=y_1+\dots+y_k,\\ \dots\dots\dots\dots &\dots\dots\dots\dots \\ x_1^n+\dots+x_k^n &=y_1^n+\dots+y_k^n,\\ \end{aligned} \right. \notag $$
где $1\leq x_1,\dots,x_k,y_1,\dots,y_k\leq P$. В работе доказаны следующие теоремы.
Теорема 1. Пусть $P>1$, $n\ge6$, $k=n+l$. Тогда ecли $n$ четно и $l\leq n/2+1$, то $J_{k,n}(P)\leq e^{4,8 n^2\ln{n}}P^{k+\frac{4l}{n+2}-\frac{4l}{(n+2)^2}}$; если $n$ нечетно и $l\leq(n+3)/2$, то $J_{k,n}(P)\leq e^{4,8 n^2\ln{n}}P^{k+\frac{4l}{n+3}}$.
Теорема 2. Пусть $n\geq6$. Тогда npu $k=\delta n^2$, $1/n\leq\delta\leq3/4$ справедлива оценка
$$ J_{k,n}(P)\leq e^{3,5 n^3\ln{n}}P^{k+(\delta-\frac1n)(8k-3,6n-0,72)}. $$

Библиогр. 7.