О разрешимости одной неклассической параболической задачи, возникающей в радиофизике

Доказывается теорема существования и единственности классического решения смешанной задачи
\begin{align} u'_t=u_{xx}'',\quad u_x'|_{x=1}=0, &\quad [\alpha(t)u|_{x=0}]'_t+u|_{x=0}+F(u|_{x=1})=0, \notag\\ u|_{t=t_0}=u_0(x)\in W^1_2(0,1); &\quad 0\leq x\leq1, \quad t\geq t_0. \notag \end{align}
Здесь функция $\alpha(t)\in C^\infty(R)$ строго положительная и $\tau_0$-периодическая, а функция $F(u)\in C^\infty(R)$ такова, что
$$ F'(u)>0\quad \lim_{u\to-\infty}F(u)=q_1,\quad \lim_{u\to+\infty}F(u)=q_2,\quad |q_j|<\infty,\quad j=1,2. $$
Показано также, что соответствующая краевая задача имеет по крайней мере одно $\tau_0$-периодическое решение.