О дифференцируемых $\varepsilon$-выборках

Пусть $X$ – линейное нормированное пространство, $Y\subset X$ – конечномерное подпространство, $\varepsilon>0$. Мультипликативной $\varepsilon$-выборкой $M\colon X\to Y$ назовем такое отображение, что
$$ \forall x\in X\quad Mx=\{y\in Y:\|x-y\|\le(1+\varepsilon)\inf\limits_{y\in Y}\|x-y\|\}. $$
В работе доказывается существование мультипликативной $\varepsilon$-выборки, имеющей ту же гладкость, что и норма пространства $X$, вне любой окрестности $Y$. На примере пространства $L^p$ показано, что построить выборку большей гладкости, вообще говоря, нельзя.
Библиогр. 9.