Об интегрируемости ряда по системе Уолша–Пэли с лакунарной последовательностью вторых разностей коэффициентов

Выделен класс последовательностей $\{a_m\}$, для которых условие
\begin{equation} \sum_{m=1}^\infty m|\Delta^2 a_m|<\infty \label{1} \end{equation}
необходимо и достаточно, чтобы ряд по системе Уолша–Пэли
\begin{equation} \sum_{m=0}^\infty a_mw_m(x) \label{2} \end{equation}
был рядом Фурье.
Теорема. Пусть коэффициенты ряда \eqref{2} таковы, что $\Delta^2a_m=0$ для $m\neq n_k$, где $n_1,n_2,\dots$ – последовательность натуральных чисел, удовлетворяющих условию $\dfrac{n_{k+1}}{n_k}\geq 49$. Тогда для того чтобы \eqref{2} являлся рядом Фурье–Уолша, необходимо и достаточно, чтобы $a_m\to0$ при $m\to\infty$ и выполнялось условие \eqref{1}.
Библиогр. 4.