Теорема равносходимости для интегрального оператора с кусочно-постоянным ядром

Работа посвящена теореме равносходимости разложений в тригонометрические ряды Фурье и по собственным и присоединенным функциям одного интегрального оператора $A$, ядро которого терпит скачки на сторонах квадрата, вписанного в единичный квадрат. Рассматривается эквивалентный ему интегральный оператор в пространстве вектор-функций размерности 4. Этот оператор замечателен тем, что компоненты его ядра терпят разрывы лишь на линии $t=x$. Находятся необходимые и достаточные условия для обращения оператора $A$. Это условие есть отличие от нуля одного определителя четвертого порядка. Изучается резольвента Фредгольма оператора $A$. Найдена формула для резольвенты. Ее нахождение сводится к решению краевой задачи для дифференциальной системы первого порядка в пространстве вектор-функций размерности четыре. Проводится преобразование этой краевой задачи, которое помогает справиться с трудностями, возникающими при ее решении. Получены также условия, аналогичные условиям регулярности по Биркгофу. Они связаны с отличием от нуля некоторых легко считаемых определителей четвертого порядка. При выполнении этих условий имеет место некоторая оценка для определителя, нули которого являются собственными значениями рассматриваемой краевой задачи. Приводится теорема равносходимости для оператора $A$. Основной метод, применяемый при доказательстве теоремы, — метод Коши–Пуанкаре интегрирования резольвенты изучаемого оператора по расширяющимся контурам в комплексной плоскости спектрального параметра. В работе также приведен пример интегрального оператора с кусочно-постоянным ядром, которое удовлетворяет всем требованиям, полученным в ходе работы.