Об обобщенных потенциалах Бесселя и совершенных пополнениях

Класс обобщенных потенциалов Бесселя представляет основной объект исследования данной статьи. Обобщенный потенциал Бесселя является отрицательной вещественной степенью оператора $(I - \Delta_\gamma)$, где $\Delta_\gamma = \sum^n_{k = 1} \frac{1}{x_k^{\gamma_k}} \frac{\partial}{\partial x_k} x_k^{\gamma_k} \frac{\partial}{\partial x_k}$ - оператор Лапласа-Бесселя, $\gamma = (\gamma_1,\dots ,\gamma_n)$ - мультииндекс, состоящий из положительных фиксированных действительных чисел. При решении различных задач для дифференциальных уравнений, доказательстве теорем вложения для некоторых классов функций и обращении интегральных операторов возникает потребность в рассмотрении функций с точностью до какого-то малого, с точки зрения рассматриваемой проблемы, множества. Часто в качестве такого малого множества берется множество лебеговой меры нуль. Однако для многих задач множества лебеговой меры нуль оказываются слишком большими, чтобы ими пренебрегать. Например, при решении граничной задачи поведение решения на границе является существенным. В связи с этим возникла потребность в конструировании полных классов допустимых функций, подходящих для решения конкретных задач. Н. Ароншайн и К. Т. Смит представили два этапа построения функционального пополнения. Первый из них - нахождение подходящего класса исключительных множеств. Второй - нахождение функций, определенных по модулю этих исключительных классов, которые нужно присоединить, чтобы получить полный функциональный класс. Оказывается, что подходящих исключительных классов в конкретной задаче может быть бесконечно много, но каждому из них соответствует по существу одно функциональное пополнение. Ясно, что наиболее подходящим является то функциональное пополнение, исключительный класс которого наименьший, поскольку тогда функции будут определены с наилучшей возможной точностью. Всякий раз, когда существует такой минимальный исключительный класс, соответствующее функциональное пополнение называется совершенным пополнением. В этой статье совершенные пополнения строятся по норме, связанной с ядром обобщенного потенциала Бесселя.