Нормальная форма и устойчивость нулевого решения периодического обратимого ОДУ второго порядка с малым параметром

Продолжено изучение вопроса об устойчивости нулевого решения обратимого уравнения $x''(t) + \beta^2 x^{2n-1}+\varepsilon b(t) x^{n - 1} x' + X(t, x, x') = 0$ при следующих предположениях: $n$ - натуральное, $\varepsilon >= 0$ - малый параметр, $b(t)$ - нечетная $2 \pi$ -периодическая функция; разложение сходящегося ряда $X$ по степеням $x, x'$ c непрерывными $2\pi$-периодическими коэффициентами не содержит членов порядка ниже $2n$, если переменной $x$ приписать первое измерение, а переменной $x'$ - измерение $n$, при этом возмущение $X$ не изменяется при замене времени на противоположное (по знаку). Как известно, для решения вопроса об устойчивости таких возмущений необходимо учитывать все члены ряда $X$. Такие случаи Ляпунов называл трансцендентными в отличие от алгебраических, где достаточно учитывать лишь конечное число членов ряда. В 2022 г. при рассмотрении случая, когда $n >= 2\ (\beta = 1)$, было установлено, что при достаточно малом $\varepsilon$, задающем амплитуду колебаний периодической функции $b(t)$ в диссипативном слагаемом, невозмущенное движение $x == 0$ устойчиво по Ляпунову. В работе исследуется случай, когда $n = 1, \beta$ - иррационально (это условие можно ослабить). Задача, как и при $n >= 2$, решается методами модифицированной для исследования обратимых систем КАМ-теории, согласно которой при малых значениях параметра в любой окрестности начала координат существуют двупериодические инвариантные торы, разделяющие трехмерное конфигурационное пространство и охватывающие ось времени, что означает неасимптотическую устойчивость невозмущенного движения. Однако метод, используемый при доказательстве устойчивости, когда $n = 1$, помимо ненормируемого $\beta$ имеет ряд существенных отличий. Параметр $\varepsilon$ вводится как еще одна переменная того же порядка, что и $x, x'$ путем добавления уравнения $\varepsilon' = 0$, после чего полученная система сводится к нормальной форме с постоянными чисто мнимыми коэффициентами. Процесс нормализации оказывается удобным делать в общем виде, считая, что $X = X(t, x, x' , \varepsilon)$ и разложение этого ряда начинается не ниже, чем со второго порядка, при этом полученная формальная нормальная форма представляет самостоятельный интерес. Устойчивость в работе доказана в невырожденном случае, когда отличен от нуля первый же коэффициент (его значение найдено), стоящий в нормальной форме при члене, не содержащем $\varepsilon$.