Solvability of hyperbolic systems with distributed parameters on the graph in the weak formulation

Исследуется слабая разрешимость начально-краевой задачи для уравнения гиперболического типа с распределенными параметрами на ориентированном ограниченном графе и краевыми условиями третьего рода. Пространственная переменная изменяется на ориентированном ограниченном графе. Дифференциальные соотношения определяются на ребрах графа без концевых точек. Во внутренних узлах графа дифференциальные соотношения заменены обобщенными условиями Кирхгофа (в приложениях — балансными соотношениями). Пространство допустимых слабых решений состоит из функций с носителем на графе, принадлежащих соболевскому пространству и удовлетворяющих условиям сопряжения в «предельном» смысле. Идея анализа начально-краевой задачи остается классической: выбирается функциональное пространство со специальным базисом (система обобщенных собственных функций эллиптического оператора задачи), в котором рассматривается начально-краевая задача; для приближений слабого решения задачи (приближения Фаэдо—Галеркина) устанавливаются априорные оценки типа энергетических неравенств; показывается слабая компактность семейства приближений Фаэдо—Галеркина. Предварительно начально-краевая задача рассматривается в пространстве функций со вторыми обобщенными производными и для такой задачи доказывается аналог энергетического неравенства. Из этого следует: 1) сходимость приближений Фаэдо—Галеркина к искомому решению; 2) аппроксимация исходной задачи конечномерной системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Путь аппроксимации исходной задачи конечномерной системой позволяет получить теоремы об аппроксимации и может эффективно применяться в различных задачах прикладного характера. Представлены необременительные в приложениях требования, налагаемые на исходные данные задачи, гарантирующие указанные свойства задачи. Полученные результаты являются основополагающими и при исследовании задач управления (оптимального управления) колебаниями промышленных конструкций. Рассмотренная задача и предложенный подход к ее анализу достаточно часто используются при математическом описании колебательных процессов в сетеподобных технических конструкциях, также при изучении волновых явлений в гидросетях.