Сходящиеся разностные схемы эллиптического уравнения в классе суммируемых функций с сетеподобным носителем

В работе указаны принципы построения сходящихся разностных схем и рассмотрен соответствующий им метод конечных разностей для анализа эллиптического уравнения в классе суммируемых функций с сетеподобным носителем. При этом не предполагается слабое решение краевой задачи, слабая разрешимость ее будет установлена с помощью метода конечных разностей. Исследование существенно опирается на некоторые свойства специальных соболевских пространств с конечной энергетической нормой. Свойства имеют общее значение, не связанное с особенностями той или иной краевой задачи, и, значит, определяют общий метод анализа решения этих задач. Предельные переходы осуществляются единообразно во всех задачах: если для приближений решения установлена равномерная ограниченность в норме специального пространства, то схема считается устойчивой в смысле метрики этого пространства, и тем самым открывается путь получения достаточных условий слабой сходимости семейства приближений, предельная функция есть слабое решение рассматриваемой задачи, причем можно выявить и условия сильной сходимости. Приведено решение задачи Дирихле для эллиптического уравнения, но используется не само дифференциальное уравнение, а соответствующее ему интегральное тождество, и ищется аппроксимация последнего. Описанная идея может быть использована для уравнений параболического и гиперболического типов, хотя реализация ее несколько сложнее, однако значительно помогает то, что установлены аппроксимации их эллиптических частей. Предлагаемый метод конечных разностей применим с небольшими видоизменениями в случае параболических и других задач для векторных функций. Примером последнего в описании сетеподобных гидродинамических процессов служит линеаризованная система Навье — Стокса, рассматриваемая в пространствах Соболева, элементами которых являются векторные функции с носителями на $n$-мерных сетеподобных областях ($n>1$). Полученные результаты могут использоваться при численном решении задач оптимального управления тепловыми и волновыми процессами в элементах конструкций из композитов.