О неявной и обратной многозначных функциях в топологических пространствах

Предлагаются условия непрерывности действующих в топологических пространствах неявного многозначного отображения и обратного многозначного отображения. Для заданных отображений $f:T\times X \to Y,$ $y: T \to Y,$ где $T,X,Y$ — топологические пространства, пространство $Y$ хаусдорфово, рассматривается уравнение
$$f(t,x)=y(t)$$
с параметром $t\in T$ относительно неизвестного $x\in X.$ Предполагается, что для некоторого многозначного отображения $U: T \rightrightarrows X$ при всех $t\in T$ выполнено включение $f(t,U(t))\ni y(t).$ Определяется неявное отображение $\mathfrak{R}_U :T \rightrightarrows X,$ которое сопоставляет каждому значению параметра $t\in T$ множество решений $x(t)\in U(t)$ данного уравнения. Доказано, что $\mathfrak{R}_U$ полунепрерывно сверху в точке $t_0\in T,$ если выполнены следующие условия: при любом $x\in X$ отображение $f$ непрерывно в точке $(t_0,x),$ отображение $y$ непрерывно в точке $t_0,$ многозначное отображение $U$ полунепрерывно сверху в точке $t_0$ и множество $U(t_0)\subset X$ компактно. Если дополнительно, при значении параметра $t_0$ решение уравнения единственно, то отображение $\mathfrak{R}_U$ непрерывно в точке $t_0$ и любое сечение этого отображения также непрерывно в точке $t_0.$ Перечисленные результаты применены к исследованию многозначного обратного отображения. Именно, для заданного отображения $g: X \to T$ рассмотрено уравнение $g(x)=y$ относительно неизвестного $x\in X.$ Получены условия полунепрерыности сверху и непрерывности отображения $\mathfrak{V}_U:T \rightrightarrows X,$ $\mathfrak{V}_U(t)=\{x \in U(t):\, g(x)=t \},$ $t\in T.$