Скалярное произведение и многочлены Гегенбауэра в пространстве Соболева

В данной работе рассматривается система функций $G_{r,n}^{\alpha }(x)$ ($r\in\mathbb{N},$ $n=0,1,\ldots$), которые ортогональны относительно скалярного произведения соболевского типа на $(-1,1)$ и порождены ортогональными полиномами Гегенбауэра. Основной целью данной работы является изучение некоторых свойств, связанных с системой $\{\varphi _{k,r}(x)\}_{k\geq 0}$ функций, порожденных ортогональной системой $\{G_ {r,n}^{\alpha }(x)\}$ функций Гегенбауэра. Исследуются условия на функцию $f(x)$, заданную в обобщенной ортогональной системе Гегенбауэра, которые гарантируют ее разложимость в обобщенный смешанный ряд Фурье вида
$$f(x)\sim \sum_{k=0}^ {r-1} f ^ {(k)} (-1) \ frac {(x + 1) ^ {k}} {k!} + \sum_ {k = r} ^ {\infty} C_ {r, k}^{\alpha }(f)\varphi _{r,k}^{\alpha }(x),$$
и изучается сходимость этого ряда Фурье. Второй результат этой статьи состоит в доказательстве рекуррентной формулы для системы $\{\varphi _{k,r}(x)\}_{k\geq 0}.$ Мы также обсуждаем асимптотические свойства этих функций, что составляет заключительный результат нашей работы.