Конусное обобщение теоремы Банаха и накрывание вдоль кривых

Настоящая работа посвящена исследованию свойства накрывания линейных и нелинейных отображений банаховых пространств. Рассмотрен линейный непрерывный оператор, действующий из одного банахового пространства в другое. Показано, что для любой точки $y_0$ из относительной внутренности образа заданного выпуклого замкнутого конуса существует коническая окрестность этой точки, относительно которой заданный оператор обладает свойством накрывания в нуле с константой накрывания, зависящей от точки $y_0.$ Приведен пример, показывающий, что линейный непрерывный оператор может не обладать свойством накрывания относительно образа заданного конуса в нуле, т. е. для сужений линейных непрерывных операторов на замкнутые выпуклые конусы утверждение теоремы Банаха об открытом отображении может не выполняться. Приведено следствие полученной теоремы для случая, когда пространство, в которое действует заданный оператор, конечномерно. Рассмотрены нелинейные дважды дифференцируемые отображения банаховых пространств. Для них приведены условия локального накрывания вдоль некоторой кривой относительно заданного конуса. Соответствующие достаточные условия сформулированы в терминах $2$-регулярных направлений. Они остаются содержательными и в случае вырождения первой производной рассматриваемого отображения в заданной точке.