Оценки в классе аналитических функций, связанных с овалом Кассини, и некоторые их применения

Вводится и исследуется класс $\mathcal{P}_n(\varphi_\lambda)$ аналитических в открытом единичном круге $E$ функций $\varphi (z)=1 + c_n z^n + c_{n+1} z^{n+1} + \ldots,$ $n \geq 1,$ подчиненных функции $\varphi_\lambda(z)=1+{(1-\lambda)z}/{(1-\lambda z^2)},$ $0\le\lambda\ <1.$ С геометрической точки зрения это означает, что множество значений функции $\varphi(z)$ содержатся в области $\varphi_\lambda(E),$ ограниченной овалом Кассини. Исследованы свойства мажоранты подчинения $\varphi_\lambda(z).$ На основе этого, опираясь на метод подчиненности аналитических функций, в классе $\mathcal{P}_n(\varphi_\lambda)$ установлены точные оценки $\rm{Re}\,\varphi(z),$ $\left|\varphi (z)\right|$ и $\left|z\varphi^\prime(z)/\varphi(z)\right|,$ в частном случае приводящие к одному из классических результатов. Рассмотрено применение данных оценок для исследования экстремальных свойств некоторых классов аналитических в $E$ функций $f(z)$ вида $f(z)=z+a_{n+1}z^{n+1}+a_{n+2}z^{n+2}+\ldots,$ $n\geq1.$ В частности, получены теоремы роста, покрытия и радиусы выпуклости одного класса звездообразных функций, который построен с использованием функции $\varphi_\lambda(z)$ и обобщает известный подкласс звездообразных функций Р. Сингха. Также даны приложения полученных результатов к исследованию некоторых классов почти звездообразных и дважды почти звездообразных функций, связанных с функцией $\varphi_\lambda(z).$ В частности, в этих классах установлены теоремы роста и найдены радиусы звездообразности.
Все полученные результаты являются точными, представляют собой как новые оригинальные результаты, так и некоторые обобщения известных результатов.