Алгоритм исследования гармонических колебаний в идеальной жидкости с абсолютно твёрдыми включениями с помощью метода конечных элементов

Статья представляет собой первую часть построения универсального алгоритма решения задачи дифракции звука на системе упругих неоднородных анизотропных тел. В ней поставлена вариация данной задачи в первом приближении - это задача об определении давления в жидкой области при заданном распределении давления на её внешней границе. Жидкость, которой заполнена область, считается идеальной. Подразумевается, что давление как внутри жидкости, так и на её границе, совершает гармонические колебания (установившиеся). Внутри области расположено произвольное количество твёрдых односвязных тел. Требуется определить давление жидкости с учётом влияния твёрдых тел. Для решения задачи используется метод конечных элементов, алгоритм применения которого подробно описан. Жидкая область разбивается на тетраэдральные элементы, внутри которых неизвестное давление аппроксимируется с помощью функций формы и введённой локальной системы координат. Для каждого тетраэдрального элемента строится локальная матрица на основе преобразованного однородного уравнения Гельмгольца, которому удовлетворяет давление внутри жидкости ввиду того факта, что поле колебаний является установившимся. Локальные матрицы элементов позволяют сформировать разреженную глобальную матрицу для системы уравнений, решение которой определяет искомые значения давления в узлах сетки. В работе подробно описывается вычисление элементов локальных матриц с учётом жидких и абсолютно твёрдых границ тетраэдральных элементов; учитывание закреплений (обусловленных заданным колебанием давления на границе идеальной жидкой области), в том числе преобразование всех элементов локальных матриц и правых частей систем линейных алгебраических уравнений при учёте закреплений; объединение локальных матриц и соответствующих им правых частей уравнений в глобальную разреженную матрицу. Шаги алгоритма универсальны для широкого класса задач. Представлен способ дальнейшего обобщения задачи на случай включения в жидкую область упругих тел со сложной внутренней структурой.