Сеточные методы решения уравнения переноса с запаздыванием

Рассматривается уравнение в частных производных первого порядка с эффектом наследственности:
$$ \frac{\partial u(x,t)}{\partial t}+a\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}=f(x,t,u(x,t),u_t(x,\cdot)),\quad u_t(x,\cdot)=\{u(x,t+s),\ -\tau\leqslant s<0\}. $$
Для такого уравнения, с позиций принципа разделения конечномерной и бесконечномерной составляющих состояния, строятся сеточные методы: аналог семейства схем бегущего счета, аналог схемы Кранка–Николсон, метод аппроксимации на середину квадрата. Для учета эффекта наследственности применяются одномерная и двойная кусочно-линейная интерполяции и экстраполяция продолжением. Доказывается, что рассмотренные методы имеют порядки локальной погрешности: соответственно $O(h+\Delta)$, $O(h+\Delta^2)$ и $O(h^2+\Delta^2)$, где $h$ – шаг дискретизации по пространственной переменной, $\Delta$ – шаг дискретизации по временно́й переменной. Исследуются свойства двойной кусочно-линейной интерполяции. Используя результаты общей теории разностных схем, установлены условия устойчивости предложенных методов. С помощью вложения в общую схему численных методов для функционально-дифференциальных уравнений получены теоремы о порядках сходимости сконструированных алгоритмов. Приведены тестовые примеры по сравнению погрешностей методов.