Критерий равномерной глобальной достижимости периодических систем

Рассматривается линейная нестационарная управляемая система
\begin{equation} \dot x =A(t)x+ B(t)u, \quad x\in\mathbb{R}^n,\quad u\in\mathbb{R}^m,\quad t\in \mathbb{R},
\end{equation}
с кусочно-непрерывными и ограниченными $\omega$-периодическими матрицами коэффициентов $A(\cdot)$ и $B(\cdot)$. Управление в системе $(1)$ строится по принципу линейной обратной связи $u=U(t)x$ с кусочно-непрерывной и ограниченной матричной функцией $U(t)$, $t\in \mathbb{R}$. Для замкнутой системы
\begin{equation} \dot x =(A(t)+B(t)U(t))x, \quad x\in\mathbb{R}^n, \quad t\in \mathbb{R},
\end{equation}
исследуется вопрос об условиях ее равномерной глобальной достижимости. Наличие последнего свойства у системы (2) означает существование такой матричной функции $U(t)$, $t\in \mathbb{R}$, которая обеспечивает для матрицы Коши $X_U(t,s)$ этой системы выполнение равенств $X_U((k+1)T,kT)=H_k$ при фиксированном $T>0$ и произвольных $k\in\mathbb{Z}$, $\det H_k>0$. Представленная задача решается в предположении равномерной полной управляемости (в смысле Калмана) системы (1), соответствующей замкнутой системе (2), т. е. при условии существования для системы (1) таких чисел $\sigma>0$ и $\alpha_i>0,$ $i=\overline{1,4},$ что при всяких числе $t_0\in\mathbb{R}$ и векторе $\xi\in \mathbb{R}^n$ справедливы неравенства
$$\alpha_1\|\xi\|^2\leqslant \xi^*\int\nolimits_{t_0}^{t_0+\sigma} X(t_0,s)B(s)B^*(s)X^*(t_0,s)\,ds\,\xi\leqslant\alpha_2\|\xi\|^2, $$

$$\alpha_3\|\xi\|^2\leqslant\xi^*\int\nolimits_{t_0}^{t_0+\sigma} X(t_0+\sigma,s)B(s)B^*(s)X^*(t_0+\sigma,s)\,ds\,\xi\leqslant\alpha_4 \|\xi\|^2, $$
в которых $X(t,s)$ — матрица Коши линейной системы (1) при $u(t)\equiv0.$ Доказано, что свойство равномерной полной управляемости (в смысле Калмана) периодической системы (1) является необходимым и достаточным условием равномерной глобальной достижимости соответствующей системы (2).