О структуре пространства однородных полиномиальных дифференциальных уравнений на окружности

Рассматриваются дифференциальные уравнения, правые части которых являются однородными тригонометрическими полиномами степени $n$. Фазовым пространством таких уравнений является окружность. Описаны грубые уравнения — уравнения, для которых топологическая структура фазового портрета не меняется при переходе к близкому уравнению. Уравнение является грубым тогда и только тогда, когда его правая часть имеет только простые нули, то есть все особые точки которого — гиперболические. Множество всех грубых уравнений открыто и всюду плотно в пространстве $E_{h}(n)$ рассматриваемых уравнений. Описаны связные компоненты этого множества. Два грубых уравнения, имеющие особые точки, принадлежат одной компоненте тогда и только тогда, когда они топологически эквивалентны. Во множестве всех негрубых уравнений выделено открытое и всюду плотное подмножество, состоящее из уравнений первой степени негрубости — уравнений, для которых топологическая структура фазового портрета не меняется при переходе к близкому негрубому уравнению. Оно является аналитическим подмногообразием коразмерности один в $E_{h}(n)$ (бифуркационным многообразием) и состоит из уравнений, для которых все особые точки гиперболические, за исключением двух седло-узловых особых точек. Доказано, что любые два грубых уравнения можно соединить в $E_{h}(n)$ гладкой дугой с конечным числом бифуркационных точек, в которых эта дуга трансверсальна бифуркационному многообразию.