Геометрические свойства интегрального оператора Бернацкого

Исследование отображений классов регулярных функций с помощью различных операторов к настоящему времени стало самостоятельным направлением в геометрической теории функций комплексного переменного. В этом плане известную связь $f(z)\in S^{o}\Leftrightarrow g(z) = zf'(z) \in S^*$ классов $S^{o}$ и $S^*$ выпуклых и звездообразных функций можно рассматривать как отображение с помощью дифференциального оператора $G[f](x) = zf'(z)$ класса $S^{o}$ на класс $S^*$, то есть $G: S^{o} \to S^*$ или $G(S^{o}) = S^*$.
Толчком к изучению данного круга вопросов стало предположение М. Бернацкого о том, что обратный оператор $G^{-1}[f](x)$, переводящий $S^* \to S^{o}$ и тем самым «улучшающий» свойства функций, отображает весь класс $S$ однолистных функций в себя.
К настоящему времени вышел целый ряд статей, в которых исследуются различные интегральные операторы, в частности, определены множества значений входящих в эти операторы показателей, при которых операторы осуществляют отображение класса $S$ или его подклассов в себя или в другие подклассы. В настоящей работе найдены значения входящего в обобщенный интегральный оператор Бернацкого параметра, при котором данный оператор преобразует подкласс звездообразных функций, выделяемых условием $a < \mathrm{Re}\, zf'(z)/f(z) < b$ ($0 < a < 1 < b$), в класс $K(\gamma)$ функций, почти выпуклой порядка $\gamma$. Результаты статьи обобщают или усиливают ранее известные результаты.