High accuracy numerical solution of elliptic equations with discontinuous coefficients

Разработан подход построения нового hp-варианта метода коллокации и наименьших квадратов (КНК) численного решения с повышенной точностью краевых задач для эллиптических уравнений с разрывом коэффициента на линиях различных форм в области решения задачи. Для аппроксимации уравнения и условий на разрыве его коэффициента в алгоритме предложено использовать законтурные части и нерегулярные ячейки (н-ячейки) расчетной сетки, отсеченные линией разрыва от регулярных прямоугольных ячеек. Предложенный подход позволил получить решения с повышенным порядком сходимости и высокой точности при измельчении шага сетки и/или увеличении степени аппроксимирующих полиномов как в случае условий Дирихле на границе области, так и в случае наличия условий Неймана на значительной части границы. Рассмотрен также случай задачи, когда кроме разрыва коэффициента в угловых точках области имеется разрыв вторых производных искомого решения. Проведено моделирование процесса теплопереноса в области, в которой частицы среды перемещаются плоскопараллельно с фазовым переходом и выделением тепла на фронте линии разрыва. Продемонстрировано эффективное сочетание метода КНК с различными способами ускорения итерационного процесса: алгоритм ускорения, основанный на подпространствах Крылова; операция продолжения вдоль восходящей ветви V-цикла на многосеточном комплексе; распараллеливание. Проведено сравнение с результатами других авторов по решению рассмотренных задач.