Искажение гиперболической ёмкости Робина при конформном отображении и экстремальные конфигурации

В настоящей работе, связанной с недавними исследованиями П. Дюрена и Дж. Пфальцграффа (J. Analyse Math. 78 (1999), с. 205–218), рассматривается задача об искажении гиперболической емкости Робина $\delta_h(A,\Omega)$ граничного множества $A\subset\partial\Omega$ при конформном отображении области $\Omega\subset U$ в единичный круг $U$. Для множеств, состоящих из конечного числа граничных дуг или целых граничных компонент, доказана точность неравенства
\begin{equation} \operatorname{cap}_hf(A)\ge\delta_h(A,\Omega) \tag{1} \end{equation}
в классе конформных отображений $f\colon\Omega\to U$, для которых $f(\partial U)=\partial U$. Здесь $\operatorname{cap}_hf(A)$ – гиперболическая емкость компакта $f(A)\subset U$. Приводятся примеры, демонстрирующие природу функций, реализующих равенство в соотношении (1). Библ. – 15 назв.