О свойстве $D(2)$ и общем поле расщеплений двух бикватернионных алгебр

Пусть $F$ – поле характеристики $\ne 2$. Будем говорить, что $F$ обладает свойством $D(2)$, если для любого квадратичного расширения $L/F$ и любых двух двумерных квадратичных форм над $F$, имеющих общее ненулевое значение над $L$, это значение может быть выбрано в $F$. Существуют примеры полей нулевой характеристики, не обладающих свойством $D(2)$. Однако, насколько мы знаем, примеры таких полей положительной характеристики до сих пор не были известны.
В данной статье мы показываем, что если $k$ – поле характеристики, неравной 2, такое, что $\|k^*/{k^*}^2\|\ge 4$, то для поля $k(x)$ свойство $D(2)$ не выполняется. Используя этот факт, мы строим две бикватернионные алгебры над полем $K=k(x)((t))((u))$ такие, что их сумма является кватернионной алгеброй, но сами они не имеют общего биквадратичного (то есть вида $K(\sqrt a,\sqrt b)$, $a,b\in K^*$) поля расщепления. Библ. – 7 назв.