Существование слабого решения параболической начально-краевой задачи в неограниченной области в классе быстро растущих функций

В неограниченной области $\Omega\subset\mathbb R^n$ рассмотрена начально-краевая задача
\begin{gather*} \mathscr Lu\equiv\frac{\partial u}{\partial t}-\sum_{i, j=1}^n\frac{\partial}{\partial x_i}(a_{ij}(x, t)u_{x_j})+\sum_{i=1}^na_iu_{x_i}+au=f-\sum_{i=1}^n\frac{\partial f_i}{\partial x_i},\\ u|_{t=0}=\varphi(x),\quad u|_{\partial\Omega}=0, \end{gather*}
при условии, что $\displaystyle\int_{\Omega_r}|\varphi|^2\,dx+\int_0^t\int_{\Omega_r}\left(|f|^2+\sum_{i=1}^n|f_i|^2\right)\,dx\,dt\leqslant Ce^{\lambda r^2}$, $\Omega_r=(x\in\Omega:|x|<r)$. Доказано, что в области $Q_T=\Omega\times(0, T)$, $T\leqslant C\lambda^{-1}$, существует единственное слабое решение этой задачи, энергетическая норма которого в $\Omega_r\times(0, T)$ оценивается через $C_1e^{\lambda r^2}$.