Эта публикация цитируется в
1 статье
Смешанный объем бесконечномерных выпуклых компактов
М. К. Досполова Международный математический институт им. Леонарда Эйлера, С.-Петербург, Россия
Аннотация:
Пусть
$K$ – выпуклое компактное
$GB$-подмножество сепарабельного гильбертова пространства
$ H$. Обозначим через
$\mathrm{Spec}_k K$ множество $\{(\xi_1(h), \ldots, \xi_k(h))\colon h\in K\}\subset \mathbb{R}^k,$ где
$\xi_1, \ldots, \xi_k$ – независимые копии изонормального гауссовского процесса. Цирельсон показал, что в этом случае для внутренних объемов
$K$ верна формула
\begin{equation*} V_k(K)= \frac{(2\pi)^{k/2}}{k!\kappa_k} \mathbf{E} \mathrm{Vol}_k(\mathrm{Spec}_k K), \end{equation*}
где
$\mathbf{E} \ \mathrm{Vol}_k(\mathrm{Spec}_k K)$ – средний объем
$\mathrm{Spec}_k K$ и
$\kappa_k$ – объем
$k$-мерного единичного шара.
В статье обобщается теорема Цирельсона на случай
смешанных объемов бесконечномерных выпуклых
$GB$-компактов в
$H$ и вводится понятие смешанного объема для бесконечномерных выпуклых подмножеств
$H$. Кроме того, на основе полученного результата вычисляется смешанный объем замкнутых выпуклых оболочек двух ортогональных спиралей Винера. Библ. – 20 назв.
Ключевые слова:
смешанные объемы, внутренние объемы, теорема Судакова, теорема Цирельсона,
$GB$-множество, изонормальный процесс, естественная модификация, спираль Винера.
УДК:
519.2 Поступило: 16.09.2022