Усреднение многомерных параболических уравнений с периодическими коэффициентами на краю внутренней лакуны

В пространстве $L_2(\mathbb{R}^d)$ изучается эллиптический дифференциальный оператор второго порядка вида $A_{\varepsilon} = \mathbf{D}^* g(\mathbf{x}/\varepsilon) \mathbf{D} + \varepsilon^{-2} p({\mathbf{x}}/\varepsilon),$ $\varepsilon >0$, с периодическими коэффициентами. Изучается поведение при малом $\varepsilon$ полугруппы $e^{- A_{\varepsilon} t}$, $t>0$, срезанной спектральным проектором оператора $A_{\varepsilon}$ на интервал вида $[\varepsilon^{-2} \lambda_{+},+\infty)$. Здесь $\varepsilon^{-2} \lambda_{+}$ — правый край спектральной лакуны оператора $A_{\varepsilon}$. Получена аппроксимация “срезанной” полугруппы по операторной норме в $L_2(\mathbb{R}^d)$ с погрешностью $O(\varepsilon)$, а также более точная аппроксимация при учете корректора с погрешностью $O(\varepsilon^2)$ (после выделения множителя $e^{-t \lambda_{+} / \varepsilon^2}$). Результаты применяются к усреднению решения задачи Коши $\partial_t v_\varepsilon = - A_\varepsilon v_\varepsilon$, $v_\varepsilon\vert_{t=0} = f_\varepsilon$, с начальным данным $f_\varepsilon$ из специального класса. Библ. – 24 назв.