Варианты метода Бургейна для проверки $\mathrm{K}$-замкнутости некоторых подпар

В начале 90-х Ж. Бургейн доказал, что пара $(L_{1}^P, L_{p}^P)$ подпространств, определённых соотношением $\{P f = f\}$ с помощью проектора $P$, являющегося оператором Кальдерона–Зигмунда, $\mathrm{K}$-замкнута в соответствующей паре $(L_{1}, L_{p})$ при $1 < p < \infty$. $\mathrm{K}$-замкнутость означает, что произвольные измеримые разбиения в $L_{1} + L_{p}$ функций из $L_{1}^P + L_{p}^P$ можно исправлять до разбиений в $L_{1}^P + L_{p}^P$ с соответствующими оценками нормы. В настоящей работе предлагается один вариант рассуждения Ж. Бургейна, который естественным образом приводит ко многим известным его обобщениям. В качестве иллюстрации этой техники доказывается следующее обобщение результата С. В. Кислякова и К. Шу о $\mathrm{K}$-замкнутости пространств Харди на бидиске: пространства функций на $\mathbb R^2$, носитель преобразования Фурье которых лежит в заданном конечном объединении многоугольников, $\mathrm{K}$-замкнуты в паре $(L_{1}, L_{\infty})$. С другой стороны, некоторые контрпримеры в контексте этого подхода выявляют конкретные ограничения, с которыми подобные методы сталкиваются в более высоких размерностях и при рассмотрении более сложных пространств функций на прямой и на плоскости. Среди прочего показано, как недавний результат С. В. Кислякова и И. К. Злотникова о $\mathrm{K}$-замкнутости коинвариантных пространств оператора сдвига $\mathcal K_\theta^{p}$ можно непосредственно вывести из результата Ж. Бургейна, причём для всей шкалы $(\mathcal K^{1}_\theta, \mathcal K_\theta^{\infty})$. Библ. – 24 назв.