Обратная теорема приближения на подмножествах областей с заострениями

Пусть $\mathfrak{P}(z)$ – двоякопериодическая функция Вейерштрасса с периодами $2\boldsymbol{\omega}_1, 2\boldsymbol{\omega}_2$, пусть $Q$ – параллелограмм периодов на комплексной плоскости, $Q = \{z \in \mathbb{C}\ : \ z = 2\alpha_1\boldsymbol{\omega}_1 + 2\alpha_2\boldsymbol{\omega}_2, \ \ \alpha_1, \alpha_2 \in [0,1)\}$.
Рассмотрим односвязную область $D, \overline{D} \subset Q$, с конечным числом внешних по отношению к ней углов, равных $2\pi$. Граничные дуги $\partial D$ в окрестности угловых точек достаточно гладкие, а между граничными точками дуги удовлетворяют условиям соизмеримости дуги и хорды.
Множество функций $f$, для которых функция $f^{(r)}$ имеет модуль непрерывности $\omega(t)$, обозначим через $H^{r+\omega}$. Предполагается, что $\omega(t)$ удовлетворяет следующему соотношению:
$$ \int\limits_0^x \frac{\omega(t)}{t} dt + x \int\limits_x^\infty \frac{\omega(t)}{t^2} dt \leq c\omega(x). $$
Пусть функция $\Phi$ конформно отображает область $\mathbb{C} \setminus D$ на $\mathbb{C} \setminus \mathbb{D}$ с нормализацией $\Phi(\infty) = \infty$, $\Phi^{\prime}(\infty) > 0$. Положим $L_{1+t} = \{z \in \mathbb{C} \setminus D: |\Phi(z)| = 1+t\}$, $\delta_n(z) =\operatorname{dist}(z, L_{1+\frac{1}{n}})$, $z \in \partial D$. Основным результатом работы является следующее утверждение.
Теорема Пусть $f\colon\overline{D}\to\mathbb{C}$, и пусть существует последовательность полиномов $P_n(u, v)$, $\deg P_n \leq n$, такая, что
$$ |f(z) - P_n(\mathfrak{P}(z), \mathfrak{P}^{\prime}(z))| \leq C \delta^{r}_n(z)\omega(\delta_{n}(z)), \ z \in \partial D, $$
где $C$ не зависит от $n$и $z$. Тогда $f \in H^{r+\omega}(D)$. Библ. – 5 назв.