Asymptotics of solutions of the degenerate third Painlevé equation in the neighbourhood of the regular singular point: the isomonodromy deformation approach

Статья содержит несколько технических улучшений наших ранее полученных результатов по параметризации данными монодромии асимптотик при $\tau\to0$ решений $u(\tau)$ третьего вырожденного уравнения Пенлеве,
$$ u^{\prime \prime}(\tau) = \frac{(u^{\prime}(\tau))^{2}}{u(\tau)} - \frac{u^{\prime}(\tau)}{\tau} + \frac{1}{\tau} \left(-8 \varepsilon (u(\tau))^{2} + 2ab \right) + \frac{b^{2}}{u(\tau)}, $$
где $ \varepsilon = \pm 1$, $\varepsilon b > 0$, $ a \in \mathbb{C}$, а также связанной с этими решениями функцией крота, $\varphi (\tau)$, которая является общим решением уравнения $\varphi^{\prime}(\tau) = \tfrac{2a}{\tau} + \tfrac{b}{u(\tau)}$. Мы также описываем три семейства решений, $u(\tau)$, которые зависят от трёх вещественных параметров, которые имеют в комплексной $\tau$-плоскости бесконечнечную последовательность нулей, сходящуюся к точке $\tau=0$. Кроме того, для параметра $a=0$ дана численная визуализация формул связи асмптотик при $\tau\to0$ и $\tau\to\infty$ решений $u(\tau)$ и $\varphi(\tau)$, имеющих логарифмическое поведение при малых значениях $\tau$. Библ. – 24 назв.