Трехмерная обратная задача акустического рассеяния (BC-метод)

Пусть $\Sigma:=[0,\infty)\times S^2$, $\mathscr F:=L_2(\Sigma)$. Прямая задача акустического рассеяния состоит в нахождении решения $u=u^f(x,t)$ системы
\begin{align*} &u_{tt}-\Delta u+qu=0, && (x,t) \in {\mathbb R}^3 \times (-\infty,\infty); \tag{48}\\ &u \mid_{|x|<-t} =0 , && t<0; \tag{49}\\ &\lim_{s \to -\infty} s u((-s+\tau) \omega,s)=f(\tau,\omega), && (\tau,\omega) \in \Sigma; \tag{50} \end{align*}
для вещественного финитного потенциала $q\in L_\infty(\mathbb R^3)$ и управления $f \in\mathscr F$. Оператор реакции $R: \mathscr F\to\mathscr F$,
\begin{align*} & (Rf)(\tau ,\omega ) := \lim_{s \to +\infty} s u^f((s+\tau ) \omega ,s), (\tau ,\omega ) \in \Sigma \end{align*}
зависит от $q$ локально: если выполнено $\xi>0$ и $f\in\mathscr F^\xi:=\{f\in\mathscr F | f \mid_{[0,\xi)}=0\}$, то значения $(Rf) \mid_{\tau\geqslant\xi}$ определяются значениями $q \mid_{|x|\geqslant\xi}$ (не зависят от $q \mid_{|x|<\xi}$). Обратная задача: для произвольно фиксированного $\xi>0$ определить $q\mid_{|x|\geqslant\xi}$ по оператору $X^\xi R\upharpoonright\mathscr F^\xi$, где $X^\xi$ есть проектор в $\mathscr F$ на $\mathscr F^\xi$. Она решается адекватной версией метода граничного управления. Подход базируется на недавних результатах об управляемости системы (48)–(50). Библ. – 22 назв.