Трехмерная обратная задача акустического рассеяния (BC-метод)
М. И. Белишев,
А. Ф. Вакуленко С.-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН
Аннотация:
Пусть
$\Sigma:=[0,\infty)\times S^2$,
$\mathscr F:=L_2(\Sigma)$.
Прямая задача акустического рассеяния состоит в нахождении решения
$u=u^f(x,t)$ системы
\begin{align*} &u_{tt}-\Delta u+qu=0, && (x,t) \in {\mathbb R}^3 \times (-\infty,\infty); \tag{48}\\
&u \mid_{|x|<-t} =0 , && t<0; \tag{49}\\
&\lim_{s \to -\infty} s u((-s+\tau) \omega,s)=f(\tau,\omega), && (\tau,\omega) \in \Sigma; \tag{50}
\end{align*}
для вещественного финитного потенциала
$q\in L_\infty(\mathbb R^3)$ и управления
$f \in\mathscr F$. Оператор реакции
$R: \mathscr F\to\mathscr F$,
\begin{align*} & (Rf)(\tau ,\omega ) := \lim_{s \to +\infty} s u^f((s+\tau ) \omega ,s), (\tau ,\omega ) \in \Sigma \end{align*}
зависит от
$q$ локально: если выполнено
$\xi>0$ и $f\in\mathscr F^\xi:=\{f\in\mathscr F | f \mid_{[0,\xi)}=0\}$, то значения
$(Rf) \mid_{\tau\geqslant\xi}$ определяются значениями
$q \mid_{|x|\geqslant\xi}$ (не зависят от
$q \mid_{|x|<\xi}$).
Обратная задача: для произвольно фиксированного
$\xi>0$ определить
$q\mid_{|x|\geqslant\xi}$ по оператору
$X^\xi R\upharpoonright\mathscr F^\xi$, где
$X^\xi$ есть проектор в
$\mathscr F$ на
$\mathscr F^\xi$. Она решается адекватной версией метода граничного управления. Подход базируется на недавних результатах об управляемости системы (48)–(50). Библ. – 22 назв.
Ключевые слова:
трехмерная динамическая система, описываемая локально возмущенным волновым уравнением, определение потенциала по данным рассеяния, метод граничного управления.
УДК:
517 Поступило: 29.08.2024