О задаче М. Каца с дополненными данными
М. И. Белишев,
А. Ф. Вакуленко С.-Петербургское Отделение Математического Института им. В. А. Стеклова, РАН
Аннотация:
Пусть
$\Omega$ – ограниченная область на плоскости. Как известно, спектр
$0<\lambda_1<\lambda_2\leqslant\dots$ задачи Дирихле для оператора Лапласа $L=-\Delta\upharpoonright[H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)]$ не определяет область однозначно (с точностью до изометрии). Естественно задаться вопросом: как дополнить спектр какими-либо данными, чтобы добиться однозначности? Задать спектр значит задать оператор
$L$ в собственном представлении, т.е в виде $\widetilde L=\Phi L\Phi^*={\rm diag }\{\lambda_1,\lambda_2,\dots\}$, где
$\widetilde L$ действует в пространстве
${\mathbf l}_2$, а
$\Phi:L_2(\Omega)\to{\mathbf l}_2$ – преобразование Фурье. Пусть $\mathscr K=\{h\in L_2(\Omega) | \Delta h=0 \text{ в } \Omega\}$ – подпространство гармонических функций, $\widetilde{\mathscr K}=\Phi{\mathscr K}\subset{\mathbf l}_2$. Мы показываем, что для весьма широкого класса многообразий, пара
$\widetilde L,\widetilde{\mathscr K}$ определяет
$\Omega$ с точностью до изометрии. Это оказывается верным не только для пл2оских областей ("барабанов"), но и для широкого класса компактных римановых многообразий произвольной размерности, метрики и топологии. Таким образом, добавляя к спектру подпространство
$\widetilde{\mathscr K}\subset{\mathbf l}_2$ мы делаем задачу разрешимой однозначно. Библ. – 11 назв.
Ключевые слова:
задача М. Каца, дополнительные данные, теория решеток, динамическая система с граничным управлением.
УДК:
517 Поступило: 06.08.2024