$\Phi$-неравенства Мазьи на областях

Найдены необходимые и достаточные условия на функцию $\Phi$ для выполнения неравенства
$$ \Big|\int_\Omega \Phi(K*f)\Big|\lesssim \|f\|_{L_1(\mathbb R^d)}^p. $$
Здесь $K$ – положительно однородное ядро порядка $\alpha - d$, возможно, векторнозначное, $\Phi$ – положительно $p$-однородная функция, и $p=d/(d-\alpha)$. Область $\Omega\subset \mathbb R^d$ либо ограничена и имеет $C^{1,\beta}$ гладкую границу для некоторого $\beta > 0$, либо является полупространством в $\mathbb R^d$. Как следствие, мы описываем положительно однородные порядка $d/(d-1)$ функции $\Phi\colon \mathbb R^d \to \mathbb R$, допускающие равномерную оценку
$$ \Big|\int_\Omega \Phi(\nabla u)\Big|\lesssim \int_\Omega |\Delta u|. $$
Библ. – 16 назв.