Обратная теорема полиномиального приближения на эллиптической кривой

Пусть $\wp(z)$ – двояко-периодическая функция Вейерштрасса с периодами $2\omega_1, 2\omega_2$, $Q$ – параллелограмм с вершинами $0, 2\omega_1, 2\omega_2, 2(\omega_1+\omega_2)$, $s_k, 1\leq k\leq m$, – попарно дизъюнктные отрезки, $s_k=[a_k,b_k]\subset Q, 1\leq k\leq m$. Числа $\varepsilon_{kn}>0$ удовлетворяют условию $\overset{m}{\underset{k=1}{\sum}}\overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}}\varepsilon^2_{kn}<\infty$. Обозначим через $g(z)$ функцию Грина области $\mathbb{C}\setminus \bigcup\limits_{k=1}^{m} s_k$ с логарифмическим вычетом в бесконечности, и пусть $L_h=\{z\in Q\setminus \bigcup\limits_{k=1}^{m} s_k: g(z)=h\}$, $0<h<{\underset{z\in\overline{Q}}{\max g(z)}}, \rho_h(z)={\rm dist}(z,L_h)$. Пусть $T(z)=(\wp(z),\wp'(z)), z\in Q$,
\begin{equation*} d_{kn}{(z)}=1+\dfrac{1}{2^n\sqrt{\delta(T(z),T(a_k))\cdot\delta(T(z),T(b_k))}}, z\in s_k, \quad\text{где} \end{equation*}

\begin{equation*} \delta((\zeta,w),(\zeta',w'))=\sqrt{|\zeta-\zeta'|^2+|w-w'|^2}. \end{equation*}

В работе доказана следующая теорема.
Теорема $1'$. Пусть $2\leq p_k<\infty, 1\leq k\leq m, f_k\in C(s_k)$ и предположим, что найдутся полиномы $\mathsf{P}_{2^n}(u,v), {\rm deg} \mathsf{P}_{2^n}\leq 2^n$ и постоянная $C_*$ такие, что при $n=1,2,\dots$ выполнено условие
\begin{equation*} \overset{m}{\underset{k=1}{\sum}}{\underset{s_k}{\int}}\displaystyle\left|\frac{f_k(z)-\mathsf{P}_{2^n}(\wp(z),\wp'(z))}{\varepsilon_{kn}\rho_{2^{-n}}(z)}\right|^{p_k}d_{kn}(z)|dz|\leq C_{*}. \end{equation*}
Тогда $f_k'(z)\in L^{p_k}(s_k)$, $1\leq k\leq m$. Библ. – 4 назв.