Prospects of tensor-based numerical modeling of the collective electrostatics in many-particle systems

В настоящее время использование структурированных малоранговых тензорных методов привело к прогрессу в задачах численного исследования электростатистических задач многочастичных систем с дальнодействующими взаимодействиями и соответствующими энергиями и силами. В данной статье предлагается обзор перспектив численного моделирования коллективного электростатического потенциала на решетках и в многочастичных системах общего типа с использованием тензорных разложений. Данный подход, исходно предложенный для структурированных по рангу сеточных вычислений потенциалов взаимодействия на трехмерных решетках, обобщается в этой работе для случая многочастичных систем с различными зарядами, расположенными на решетках в многомерных областях вида $L^{\otimes d}$, дискретизированных на мелких декартовых сетках вида $n^{\otimes d}$ для произвольных значений размерности $d$. В результате потенциал взаимодействия представляется в параметрическом малоранговом каноническом формате со сложностью $O(dLn)$. Полная энергия взаимодействия далее может быть вычислена за $O(dL)$ операций. Электростатика для больших биомолекулярных систем дискретизируется на мелкой сетке $n^{\otimes 3}$ с использованием нового тензорного формата с разделением по диапазонам (RS) [3], который поддерживает дальнодействующую часть трехмерного коллективного потенциала многочастичной системы в параметрической малоранговой форме сложности порядка $O(n)$. Демонстририруется, что поле сил можно легко восстановить с использованием предварительно вычисленного электрического поля в малоранговом $\mathrm{RS}$-формате. $\mathrm{RS}$-представление дискретизированной дельты Дирака [4] позволяет построить эффективную консервативную по энергии схему регуляризации для решения трехмерных эллиптических уравнений в частных производных с сильно сингулярными правыми частями, возникающими при научных вычислениях. Основной вывод состоит в том, что методы аппроксимации на основе тензоров с ранговой структурой предоставляют многообещающие численные инструменты для приложений к динамике многих тел в бионауках, докингу белков и задачам классификации, для малопараметрической интерполяции разрозненных данных в науках о данных, а также в машинном обучении во многих измерениях.
Библ. 76. Фиг. 9. Табл. 3.