О псевдодиагонально-оптимальных методах Рунге–Кутты-простых итераций для систем дифференциально-алгебраических уравнений индекса $1$

Изучаются особенности использования неявных методов Рунге–Кутты для решения систем дифференциально-алгебраических уравнений индекса $1$ большой размерности. В этом случае особенно полезным может оказаться метод простых итераций, так как он допускает очень простую компьютерную реализацию вне зависимости от размерности задачи и стадийности метода Рунге–Кутты. Однако ранее было показано, что, с одной стороны, комбинированные методы Рунге–Кутты-простых итераций имеют весьма ограниченную применимость, а с другой, – достаточное число итераций для обеспечения сходимости максимального порядка, т.е. порядка базового метода Рунге–Кутты, может быть очень большим. Предложен подход, позволяющий строить в некотором смысле оптимальные методы Рунге–Кутты-простых итераций. Таким методам в полной мере присуща простота компьютерной реализации, но, с другой стороны, они выгодно отличаются областью применимости и достаточно небольшим числом итераций. Для оптимальных методов Рунге–Кутты-простых итераций доказаны теоремы существования и единственности, а также предложены практические алгоритмы для компьютерной реализации. Эффективность нового класса методов показана теоретически и на ряде численных примеров.