Ordered invariant sets for KdV-type nonlinear evolution equations

Рассматривается квазилинейное эволюционное уравнение третьего порядка
$$ u_t=u_{xxx}+\Psi(u)u_x, $$
где $\Psi(u)$ – достаточно гладкая функция. При $\Psi(u)=u$ это уравнение является уравнением Кортевега–де Вриза (КдВ). Для функций $\Psi$, удовлетворяющих нелинейному обыкновенному дифференциальному уравнению четвертого порядка, доказано, что уравнение (I) допускает точные решения, принадлежащие так называемому упорядоченному инвариантному множеству $S_0$. Эти решения являются новыми и, хотя они не являются инвариантными относительно групп преобразований Ли, обсуждается их связь с инвариантно-групповыми решениями. Именно, для рассматриваемых $\Psi$ данное уравнение (I) на $S_0$ становится обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. Решения $u(\cdot,t)\in S_0$ упорядочены в том смысле, что они удовлетворяют стандартной теореме сравнения. Показано, что уравнение КдВ является предельным случаем рассматриваемых уравнений, допускающих инвариантные множества. Получены некоторые асимптотические свойства инвариантных решений. Обсуждается возможность обобщения на случай квазилинейных уравнений.